בנם הבכור של טקלה וצ'קלו זרו. נולד ביום ב' בטבת תשל"ט (1.1.1979) בכפר ווסנגה, באתיופיה.
משה גדל בכפר הולדתו באתיופיה. בגיל שש החל את לימודיו הרשמיים בבית ספר שיועד לבני קהילת ביתא ישראל. כבר בשנותיו הראשונות בלט כתלמיד חרוץ, בעל מוטיבציה גבוהה והישגים מרשימים, ונמנה עם התלמידים המובילים בכיתתו.
בשנת 1984 החלה משפחתו את מסע העלייה לישראל דרך סודן, אך הניסיון לא צלח והם נאלצו לשוב לביתם. למרות הקשיים, חוסר הוודאות וההמתנה הממושכת, המשיכה המשפחה לדבוק בחלומה לעלות לישראל ולא ויתרה על שאיפתה להגשים אותו.
בשנת 1991, כשהיה בן שתים-עשרה, עלה משה לישראל יחד עם בני משפחתו, והם השתקעו בעיר באר שבע. המעבר מכפר קטן באתיופיה לחיים בעיר בישראל היה מאתגר, אך משה גילה יכולת הסתגלות מרשימה. בהדרגה למד את השפה העברית, הכיר חברים חדשים והשתלב בסביבתו החדשה.
משפחה הייתה עבורו ערך עליון. משה כיבד את הוריו והיה בן מסור, אח אוהב ודמות תומכת עבור בני משפחתו. הוא שמר על קשר קרוב וחם עם אחיו ואחיותיו, עמד לצידם ברגעים משמעותיים והעניק להם אוזן קשבת ותמיכה. כבר מגיל צעיר גילה תחושת אחריות יוצאת דופן כלפי משפחתו. מדי חופשת קיץ עבד בעבודות שונות כדי לסייע בפרנסת הבית. הוא לא ראה בכך נטל, אלא חובה טבעית וביטוי לאהבתו העמוקה למשפחתו ולרצונו לתרום לרווחתה.
במהלך שנות נעוריו עבר ללמוד בפנימייה, שם רכש השכלה מקצועית בתחום מכונאות הרכב. לצד לימודיו הקדיש זמן רב לעיסוק בספורט, תחום שהיה קרוב לליבו ושבו השקיע שעות רבות של אימונים. המשמעת העצמית, ההתמדה, האחריות והנחישות שאפיינו אותו כבר מגיל צעיר ליוו אותו לאורך כל חייו והיוו בסיס משמעותי להמשך דרכו.
בשנת 1997 התגייס לצה"ל ושירת כמכונאי בחיל האוויר. משה לבש את המדים בגאווה, יישם את הידע המקצועי שרכש וביצע כל משימה על הצד הטוב ביותר. עד מהרה בלט במקצועיותו ובמסירותו וזכה להערכת מפקדיו ועמיתיו ליחידה.
במהלך שירותו הצבאי חלה, שוחרר והוכר כנכה צה"ל.
משה נודע כאדם רחב לב, מלא נתינה, נכון תמיד לעזור. בזכות אופיו הצנוע, חיוכו המאיר וטוב ליבו רכש חברים רבים והיה אהוב על כל סובביו. מי שנכנס לחייו ידע שמצא חבר אמת לכל החיים שאפשר לסמוך עליו.
משה זרו נפטר ביום י"ג בשבט תשע"א (18.1.2011). בן שלושים ושתיים בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין בבאר שבע. הותיר אחריו הורים, אחים ואחיות.
על מצבתו חקקו אוהביו: "זכרך לא ימוש מליבנו לנצח".
כתבה דודתו דליה: "אחיין שלי, אתה חסר בעולם הזה. מתגעגעים. השארת חלל ענק בליבנו. יהי זכרך ברוך. תשמור עלינו מלמעלה, מתגעגעת מאוד".